《课题学习,最短路径问题》教案、导学案、同步练习
《 13.4 课题学习
最短路径问题》 教学设计
一、教材分析
1 1 、地位作用:
随着课改的深入,数学更贴近生活,更着眼于解决生产、经营中的问题,于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”,由于所给的条件的不同,解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题,体现了数学来源于生活,并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2 2 、 目标和目标解析:
(1)目标:能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. (2)目标解析:达成目标的标志是:学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题,能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最算路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想. 3 3 、教学重、难点
教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题 教学难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.
二、教学准备:多媒体课件、导学案 三、教学过程
教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景
引入课题
师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 从生活中问题出发,唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
(板书)课题 二、自主探究
合作交流
建构新知
追问 1 1 :观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动 1 1 :思考画图、得出数学问题
将 A , B 两地抽象为两个点,将河 l 抽象为一条直 线.
追问 2 2
你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从 A 地出发,到河边 l 饮马,然后到 B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与 A , B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从 A 地 到饮马地点,再回到 B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点.设 C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小(如图).
动手画 直线
观察口答
动手连线 观察口答
独立思考 合作交流
为学生提供参与数学活动的生活情境,培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.
经历观察-画图-说理等活动,感受几何的研究方法,培养学生的逻辑思考能力.
强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动 2 2 :尝试解决数学问题
问题 2 2
:
如图,点 A , B 在直线 l 的同侧,点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小? 追问 1 1
你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点 B ′吗?
问题 3 3
如图,点 A , B 在直线 l 的同侧,点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小?
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 如果学生有困难,教师可作如下提示
汇报交流成果,书写理由.
思考感悟活动 1 中的将军饮马问题,把刚学过的方法经验迁移过来
学生独立完成,集体订正
达到轴对称知识的学以致用
注意问题解决方法的小结:抓对称性来解决
及时进行学法指导,注重方法规律的提炼总结.
学以致用,及时巩固
作法:
(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′; (2)连接 AB ′,与直线 l 相交于点 C ,则点 C 即为所求. 如图所示:
问题 3 3
你能用所学的知识证明 AC + BC 最短吗?
教师展示:证明:如图,在直线 l 上任取一点 C ′(与点C 不重合),连接 AC ′, BC ′, B ′ C ′. 由轴对称的性质知, BC = B ′ C , BC ′= B ′ C ′. ∴ AC + BC =
AC + B′C =
AB′ , AC′ + BC′ =
AC′ + B′C′ .
学生独立完成,集体订正
注意问题解决方法的小结:抓轴对称来解决
经历观察-画图-说理等活动,感B ′
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题 4 4
练习 如图,一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸 BC 上,再返回 P 处,请画出旅游船的最短路径.
基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接 PQ ,线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线 BC ,这样问题就转化为“点 P , Q 在直线 BC 的同侧,如何在 BC 上找到一点 R ,使 PR 与 QR 的和最小”. 问题 5
造桥选址问题
如图,A 和 B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥
互相交流解题经验
独立完成,交流经验
观察思考,受几何的研究方法,培养学生的逻辑思考能力.
提炼思想方法:轴对称,线段和最短
MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析:1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢? 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢?
思维点拨:改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)
1、把 A 平移到岸边. 2、把 B 平移到岸边. 3、把桥平移到和 A 相连. 动手画图,用轴对称知识进行解决
各抒己见
合作与交流
体会转化思想,
体验轴对称知识的应用
动手体验
动手作图
4、把桥平移到和 B 相连. 教师:上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢?请检验. 1、2 两种方法改变了.怎样调整呢?把 A 或 B 分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决:如图,平移 A 到 A1,使AA1 等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 理由;另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.
由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.
AM+MN+BN 转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+A1N1+BN1.
在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B 因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN
如图所示:
交流体会
体验转化思想 B A
方法提炼:
将最短路径问题转化为“线段和最小问题” 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 三、巩固训练
(一)基础训练:1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 如图所示,点 A , B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个点 C ,使 CA + CB 最短,这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点.
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 如图所示,点 A , B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一个点 C ,使 CA + CB 最短,这时先作点 B 关于直线 l的对称点 B ′,则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点.
2.如图,A 和 B 两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
学生独立思考解决问题
独立思考,合作交流.
巩固所学知识,增强学生应用知识的能力,渗透转化思想.
提炼方法,为课本例题奠定基础.
如图,问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+QB.桥 MN 和PQ 在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种:两个桥长都平移到 A点处、都平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处,PQ 平移到 B点处
. (二)变式训练:
如图,小河边有两个村庄 A , B ,要在河边建一自来水厂向A 村与 B 村供水.
(1)若要使厂部到 A , B 村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到 A , B 两村的水管最短,应建在什么地方? (三)综合训练:
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO , BO ), AO 桌面上摆满了橘子, OB 桌ABQNABMP
面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到 D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
图 a
图 b
四、反思小结
布置作业
小结反思
(1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法? 你还有哪些收获?
作业布置、课后延伸
必做题:课本 P93-15 题;选做题:生活中,你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题 自由发言,相互借鉴.自我评价.
总结回顾学习内容,帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.
关注学生的个体差异. 板书设计:
教学反思:
13.4 最短路径问题
两点的所有连线中,线段最短”、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题. 方法提炼:
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
学习目标:
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想.
重点:利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点:利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、 知识链接
1.如图,连接 A、B 两点的所有连线中,哪条最短?为什么?
2.如图,点 P 是直线 l 外一点,点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中,哪条最短?为什么?
3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实? (1)三角形的三边关系:
___________________________________ ; (2)直角三角形中边的关系:
______________________________ .
4.如图,如何作点 A 关于直线 l 的对称点?
一、 要点探究
探究点 1 1 :
牧人饮马问题
想一想:
1.现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,如何在 l 上找到一个点,使得这个点到点 A,点 B 的距离的和最短?
2.如果点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点,如何将点 B“移”到 l 的另一侧B′处,满足直线 l 上的任意一点 C,都保持 CB 与 CB′的长度相等? 实际问题:如图,牧马人从点 A 地出发,到一条笔直的河边 l 饮马,然后到 B 地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
数学问题:如图,点 A、B 在直线 l 的同一侧,在直线 l 上求作一点 C,使 AC+BC 最短.
:
要点归纳:(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′;(2)连接 AB′,与直线l 相交于点 C.则点 C 即为所求.如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗? 证明:
要点归纳: :在解决牧人饮马问题时,通常利用轴对称,把未知问题转化为已解决的问题,从而做出最短路径的选择. 典例精析
例 例 1 1 :如图,已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的 中点,AD=5,点 F 是 AD 边上的动点,则 BF+EF 的最小值为(
)
A.7.5
B.5
C.4
D.不能确定
方法总结:此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键,而后将求线段长的和转化为求某一线段的长,而再根据已知条件求解.
例 例 2 2 :如图,在直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和 (3,0),点 C 是 y 轴上的一个动点,且 A,B,C 三点不在同一 条直线上,当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是(
)
A.(0,3)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(0,0)
方法总结:求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固定点,而后
作某一固定点关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点 2 2 :造桥选址问题
实际问题:如图,A 和 B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)?
数学问题:如图,假定任选位置造桥 MN,连接 AM 和 BN,从 A 到 B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
想一想:我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢? 画一画:
(1)把 A 平移到岸边.
(2)把 B 平移到岸边.
(3)把桥平移到和 A 相连.
(4)把桥平移到和 B 相连.
:
比一比:(1)(2)(3)(4)中,哪种作法使得 AM+MN+BN 最短?
要点归纳:如图,平移 A 到 A 1 ,使 AA 1 等于河宽,连接 A 1 B 交河岸于 N 作桥MN,此时路径 AM+MN+BN 最短.
证明:另任作桥 M 1 N 1 ,连接 AM 1 ,BN 1 ,A 1 N 1 .
针对训练
1.如图,直线 l 是一条河,P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站,向 P、Q 两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的 是(
)
2.如图,一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客,然后将游客送往河岸 BC 上,再返回 P 处,请画出旅游船的最短路径.
想一想:如何说明此时AM+MN+BN 最 短呢?
3.如图,小河边有两个村庄 A , B ,要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水. (1)若要使厂址到 A , B 两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作图痕迹,写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到 A , B 两村的水管最短,应建在什么地方?
二、 课堂小结
1.如图,直线 m 同侧有 A、B 两点,A、A′关于直线 m 对称,A、B 关于直线n 对称,直线 m 与 A′B 和 n 分别交于 P、Q,下面的说法正确的是(
)
A.P 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点,Q 是 m 上到 A、B 距离相等的点 B.Q 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点,P 是 m 上到 A、B 距离相等的点 C.P、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点 最短路径问题 牧人饮马问题 造桥选址问题 轴对称+线段公理 平移
D.P、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图 2.如图,∠AOB=30°,∠AOB 内有一定点 P,且 OP=10.若在 OA、OB 上分别有动点 Q、R,则△PQR 周长的最小值是(
)
A.10
B.15
C.20
D.30 3.如图,牧童在 A 处放马,其家在 B 处,A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD,且 AC=BD,若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米,则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是_____ 米. 4.如图,边长为 1 的正方形组成的网格中,△AOB 的顶点均在格点上,点 A、B 的坐标分别是 A(3,2),B(1,3).点 P 在 x 轴上,当 PA+PB 的值最小时,在图中画出点 P.
5.如图,荆州古城河在 CC′处直角转弯,河宽相同,从 A 处到 B 处,须经两座桥:DD ′,EE ′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短?
拓展提升
6.(1)如图 1,在 AB 直线一侧 C、D 两点,在 AB 上找一点 P,使 C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点. (2)如图 2,在∠AOB 内部有一点 P,是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F,使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短,找出 E、F 两点. (3)如图 3,在∠AOB 内部有两点 M、N,是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F,使得 E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出 E、F 两点.
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形
的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想. 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 重点:作轴对称图形
难点:用轴对称知识解决相应的数学问题 学习过程:
一、复习旧知 1、 动一动:如图,已知△ ABC 和直线 l ,你能作出△ ABC 关于直线 l 对称的图形。
二、预习新课 2、[探究 1] 如图(1).要在燃气管道 L 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气.•泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 你可以在 L 上找几个点试一试,能发现什么规律吗?
[探究 2] 为什么在点 C 的位置修建泵站,就能使所用的输管道最短? 过程:将实际问题转化为数学问题, 该问题就是证明
. 已知:
求作:
证明过程:
三、随堂练习 1、任画一条直线 L 及直线 L 同旁两点 M、N,画出从点 M 出发经过直线 L 上的某一点后,再到达 N 点的最短路线。
.N .M
2、已知:两点 A、B 位于直线 L 的两侧,在直线 L 上求作一点 C,使得 AC-BC最大。
A .
.B
四、课时小结 五、巩固提升 1、如图,A 为马厩,B 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。
2、 为保证2008北京奥运会顺利进行,奥组委在公路L的同侧修建你A,B 两个日用品供应站,要在过路边建一个转运站 C,使 A,B 两站到转运站 C 的距离之和最短,问这个转运站应建在公路的哪个位置上比较合理? A .
B .
《 13.4 课题学习
最短路径问题》导学案
一、
学习目标
①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用; ③能通过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想 二、预习内容
自学课本 5 85 页,完成下列问题:
追问 1 1 :观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动 1 1 :思考画图、得出数学问题
将 A , B 两地抽象为两个点,将河 l 抽象为一条直 线.
追问 2 2
你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从 A 地出发,到河边 l 饮马,然后到 B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与 A , B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从 A 地 到饮马地点,再回到 B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点.设 C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小(如图).
三、探究学习
1、 活动 2 2 :尝试解决数学问题
问题 2 2
:
如图,点 A , B 在直线 l 的同侧,点 C 是直线上的一个动点,当点 C 在 l 的什么位置时, AC 与 CB 的和最小? 追问 1 1
你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点 B ′吗? 师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充 (2)连接 AB ′,与直线 l 相交于点 C ,则点 C 即为所求
四、巩固测评
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.如图所示,点 A , B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个点 C ,使 CA + CB 最短,这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点. 如果学生有困难,教师可作如下提示 作法:
(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′; (一)基础训练:1、最短路径问题
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 如图所示,点 A , B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一个点 C ,使 CA+ CB 最短,这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′,则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点.
2.如图,A 和 B 两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
(二)变式训练:.如图,小河边有两个村庄 A , B ,要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.
AB
(1)若要使厂部到 A , B 村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到 A , B 两村的水管最短,应建在什么地方?
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO , BO ), AO 桌面上摆满了橘子, OB 桌面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到 D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
图 a
图 b 五、学习心得
。
《 13.4
课题学习
最短路径问题》同步练习
基础巩固 1.有两棵树位置如图,树脚分别为 A , B .地上有一只昆虫沿 A — B 的路径在地面上爬行.小树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶 C处,问小鸟飞至 AB 之间何处时 ,飞行距离最短,在图中画出该点的位置.
2.已知,如图所示,甲、乙、丙三个人做传球游戏,游戏规则如下:甲将球传给乙,乙将球立刻传给丙,然后丙又立刻将球传给甲.若甲站在∠ AOB 内的P 点,乙站在 OA 上,丙站在 OB 上,并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须站在何处,才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间(三)综合训练:
最少?
3.如图所示, P , Q 为△ ABC 边上的两个定点,在 BC 上求作一点 R ,使△ PQR的周长最小.
4.七年级(1)班同学做游戏,在活动区域边 OP 放了一些球(如图), 则小明按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地 A?
能力提升 5.公园内两条小河 MO , NO 在 O 处汇 合,两河形成的半岛上有一处景点 P (如图所示).现计划在两条小河 上各建一座小桥 Q 和 R ,并在半岛上修三段小路,连通两座小桥与景点,这两座小桥 应建在何处才能使修路费用最少?请说明理由.
6.如图,牧童在 A 处放牛,其家在 B 处, A , B 到河岸 CD 的距离分别为 AC ,BD ,且 AC = BD ,若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m.
(1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最
短?在图中作出该处,并说明理由; (2)最短路程是多少?
参考答案
1. 解:如图,作 D 关于 AB 的对称点 D ′,连接 CD ′交 AB 于点 E ,则点 E就是所求的点.
2. 解:如图所示,(1)分别作点 P 关于 OA , OB 的对称点 P 1 , P 2 ; (2)连接 P 1 P 2 ,与 OA , OB 分别相交于点 M , N . 因为乙站在 OA 上,丙站在 OB 上,所以乙必须站在 OA 上的 M 处,丙必须站在 OB 上的 N 处才能使传球所用时间最少.
3. 解:(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P ′; (2)连接 P ′ Q ,交 BC 于点 R ,则点 R 就是所求作的点(如图所示).
4. 解:如图,作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A ′,连接 AA ′交 OP于点 B ,则小明行走的路线是小明→ B → A , 即在 B 处捡球,才能最快拿到球跑到目的地 A .
5. 解:如图,作 P 关于 OM 的对称点 P ′,作 P 关于 ON 的对称点 P ″,连接P ′ P ″,分别交 MO , NO 于 Q , R ,连接 PQ , PR ,则 P ′ Q = PQ , PR = P ″ R ,则 Q ,R 就是小桥所在的位置.
理由:在 OM 上任取一个异于 Q 的点 Q ′,在 ON 上任取一个异于 R 的点 R ′,连接 PQ ′, P ′ Q ′, Q ′ R ′, P ″ R ′, PR ′,则 PQ ′= P ′ Q ′, PR ′= P ″ R ′,且 P ′ Q ′+ Q ′ R ′+ R ′ P ″ > P ′ Q + QR + RP ″,所以△ PQR 的周长最小,故 Q ,R 就是我们所求的小桥的 位置. 6. 解:(1)作法:如图作点 A 关于 CD 的对称点 A ′;
连接 A ′ B 交 CD 于点 M .则点 M 即为所求的点. 证明:在 CD 上任取一点 M ′,连接 AM ′, A ′ M ′, BM ′, AM , 因为直线 CD 是 A , A ′的对称轴, M , M ′在 CD 上, 所以 AM = A ′ M , AM ′= A ′ M ′,所以 AM + BM = A ′ M + BM = A ′ B , 在△ A ′ M ′ B 中,因为 A ′ M ′+ BM ′> A ′ B , 所以 AM ′+ BM ′= A ′ M ′+ BM ′> AM + BM ,即 AM + BM 最小. (2)由(1)可得 AM = A ′ M , A ′ C = AC = BD ,所以△ A ′ CM ≌△ BDM , 即 A ′ M = BM , CM = DM ,所以 M 为 CD 的中点,且 A ′ B =2 AM , 因为 AM =500 m,所以 A ′ B = AM + BM =2 AM =1 000 m.即最短路程为 1000 m.
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