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　《误差理论与数据处理》练习题 参考答案 第一章绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa, 该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活 塞压力计测量值的 绝对误差=测得值—实际值= 100.2 - 100.5 = - 0.3 ( Pa )。

　0 3 相对误差 = 100% 0.3% 100.5 2 2 1-9 使用凯特摆时， g 由公式 g=4 n ( h 1 +h 2 ) /T 给定。今测出长度( h 1 +h 2 )为( 1.04230 ± 0.00005 ) m ,振动时间 T 为 ( 2.0480 ± 0.0005 ) s 。试求 g 及其最大相对误差。

　如果 ( h 1 +h 2 ) 2 测出为 ( 1.04220 ± 0.0005)m ,为了使 g 的误差能小于 0.001m/s , T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得( h 1 +h 2 )的平均值为 1.04230 ( m ) , T 的平均值为 2.0480 ( s )。

　h 2 ) , 得:

　当 (h 1 h 2 ) 有微小变化 (h 1 h 2 ) 、 T 有 T 变化时，令 h h 1 h 2 g 的变化量为：

　 g 八

　g 十 4 2 8 2

　g (h h 2 ) T 2 5 g) 3

　h 2 ) T (h d)

　1 T

　T

　 4 2

　 2 T

　 T 2

　[5 h 2 ) T (h h 2 ) ]

　 2.0480 2

　1.04230 9.81053(m/s 2 )

　2 T h) g 的最大相对误差为:

　 0.00055(s) 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5% ）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 引用误差=示值误差/测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：

　所以该电压表合格。

　1 - 13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.1km ，优秀射手能 在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高 ？ 解：

　多级火箭的相对误差为: 01 0.00001 0.001% 10000 射手的相对误差为：

　1cm 0.01m

　0.0002 0.002% 50m 50m 1 g g 4 人[ h 2

　T T

　h] 4

　h 2 ) 0.00005 2 ( 0.0005)] [pl h 2

　TT" h 4 4 石 [ 1.04230 2.0480 100% 0.054% 如果 （h 1

　h 2 ）

　测出为（ 1.04220 ± 0.0005）m ，为使 g 的误差能小于 0.001m/s 2 ,即：

　g 0.001 也即 g 4 T 2 4 2

　2.0480 2

　0.0005 (h i h 2 ) 0.0005 1.01778 (h 1

　h 2 )] 0.001 口 1.04220 2.0480T 0.00106 0.001 1-10. 示值误差 【解】

　r m VU ^ -

　2% U m

　100 由于：

　2%<2.5% 求得:

　2

　多级火箭的射击精度高。

　附加 1 — 1 测得某三角块的三个角度之和为 180 ° 00 " 02 ” , 试求测量的绝对误差和相对误 差 180 ° 00 02 180 ° 2 2 2 _ 2 180 °

　180 60 60 _ 648000解：

　绝对误差等于: 相对误差等于: 0.00000308641 0.000031%

　3

　第二章误差的基本性质与处理 2-2. 试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 不同? 【解】

　单次测量的标准差 表征同一被测量 n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列

　 算术平均值的标准差 是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可 x 作为算术平均值不可靠性的评定标准 x • 、一

　n 在 n 次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的 量次数 n 愈大时 ，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

　2-3• 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在 率。

　【解】（ 1 ）误差服从正态分布时 （2 ）误差服从反正弦分布时 ，两者物理意义和实际用途有何 x 中单次测量不可靠性的评定标准。

　1 2

　2 2

　L 1 n ，当测 中的概 P（ 、 2）

　、;一 (2 引入新变量 t: t t ,经变换上式成为: _ 2 P( 2 ) - r

　t 2

　2 dt (t) 2 0.4195 0.84 84% 因反正弦分布的标准差为: a & ，所以区间 2,2 a, a ,

　4

　故 ：

　P （

　,2 ）

　（3 ）误差服从均匀分布时

　2-4. 测量某物体重量共 8 次，测得数据（单位为 g ）为 236.45 , 236.37 , 236.51 ， 236.34 , 236.39 , 236.48 ， 236.47 ， 236.40 ，求其算术平均值及其标准差。

　【解】①选参考值 x 236.00 ，计算差值 x i

　x i

　236.00 、 x 0 和残差 v i 等列于表中。

　序匕 Xi A A -

　i

　V? 1 236.45 0. 45 +0. 02 0. 0004 n —236.37 0, 37 -0 06 D. 0036 3 236.51 0, 51 +0. 08 D. 0064 4 236.34 0. 34 -0 09 0. 0081 3 236.39 0. 39 -0. 04 0. 0016 6 236.4S 0. 48 +0. 05 0. 0025 T 236.47 0. 47 +0. 04 0,0016 8 236, 40 0. 40 -0. 03 0, 0009

　工=心 + A.ro = 236.43 - | » A. VD

　= -》* = 0.43乙= -0-03 j^l 8 ^1-7-0,0251 i«L

　 或依算术平均值计算公式， 1

　8

　n=8 ,直接求得：

　x x i

　236.43(g) 8 i 1 2 - 6 测量某电路电流共 5 次，测得数据 （ 单位为 mA）

　为 168.41 , 168.54 , 168.59 , 168.40 ,2 d

　因其标准差为: \3 ，所以区间 1 讣 a

　2a 1 2a ； a 0.82 82% ②计算标准差：用贝塞尔公式计算: 0.0251 "■ 8 10.06(g) 0.06 「 8 0.02 A 彳 a ，故

　x 5

　168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

　解：

　5 I i f 168.49(mA)

　2 — 7 在立式测长仪上测量某校对量具， 重复测量 5 次，测得数据 ( 单位为 mm 为 20.0015 , 20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011 。若测量值服从正态分布，试以 99 %的置信概率确 定测量结果。

　解：

　① 求算术平均值 n

　l i x i 1

　20.0015mm n ② 求测量列单次测量的标准差

　0.08 0.04

　5

　2、(I i I) i 1 2 0.08 3 . 5 1 3

　5

　4 .

　4 0.08 5 5 1 5

　0.05 R 0.6745 0.02 x 0.06 T 0.7979 0.03 x 用贝塞尔公式计算: 26 10 8

　2.55 10 4

　mm 用别捷尔斯公式计算: n V i 1.253―丄 Jn(n 1) 1.253 0 . 0008

　V54 2.24 10 4 mm ③ 求算术平均值的标准差 2.55 10 .5 4 4 - = 1.14 10 mm

　6

　 lim X t 2.60 2.55 10 4

　6.63 10 4

　0.00066 算术平均值的极限误差：

　lim X t

　x 2.60 1.14 10 4

　2.964 10 4

　0.0003 ⑥写出最后测量结果

　 L x lim x 20.0015 0.0003 mm 2 — 10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差^= 0.001mm, 若要求测量的允许极 限误差为土 0.0015mm, 而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

　根据题目给定得已知条件，有 t 0.0015 ,「 —

　--------

　1 5 •、n 0.001现自由度为 ：v = 查 t 分布表有：

　n — 1 = 4 ; t = 4.60 a= 1 — 0.99 = 0.01 , 单次测量的极限误差：

　 lim X t

　 4.60 4 2.55 10 1.173 10 3

　3 1.17 10 mm 算术平均值的极限误差：

　 lim X t X 4.60 1.14 10 4

　5.24 4 10 mm ⑥写出最后测量结果

　 做法 2 : L X lim X 20.0015 5.24 10 4

　mm ④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 做法 1 : 因 n = 5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。

　因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2 ① (t)=99% ，则① ( t)=0.495 ，查正态分布积 分表，得置信系数 t 2.6 单次测量的极限误差：

　2.24 10 .5 =0.0001 0.0015

　7

　查教材附录表 3 有 若 n = 5 , v = 4 ,a= 0.05 ，有 t = 2.78 , t 2.78 2.78 "I- 24 ..n . 5 2.236 若 n = 4 , v = 3 , a= 0.05 ，有 t = 3.18 ,

　即要达题意要求，必须至少测量 5 次。

　2-11 已知某仪器测量的标准差为 0.5 卩①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得 值为 26.2025mm, 试写出测量结果。②若重复测量 10 次，测得值(单位为 mr )为 26.2025 , 26.2028 , 26.2028 , 20.2025 , 26.2026 , 26.2022 , 20.2023 , 26.2025 , 26.2026 , 26.2022 , 试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的测 量值，写出上述①、②的测量结果。

　解：① 单次测量的极限误差以 3 b 计算 ：

　im x 3 3 0.5 1.5( m) 0.0015(mm) 所以测量结果可表示为：

　26.2025 ± 0.0015 (mm) ② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为：

　取与①相同的置信度，算术平均值的标准差 lim x 3

　x 3 1 . 58

　则测量结果为：

　x 3 x

　26.2025 0.0005 (mm) ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。

　选参考值 X 。

　26.202 ，计算差值 X i X i 26.202 、 Q 和残差 W 等列于表中。

　t 3.18 .n - 4 3.18 2 1.59 x i X i 1 26.2025(mm) ・

　x

　0.0 005

　= 1.58 10 -4

　mm .10 10 -4

　4.74 10 -4

　5 10 -4 mm

　10

　8

　 2.210 4 mm差分别为 c 1 =3.1 ”， （T 2 =13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。

　【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。

　1 ：

　1 2 : 2 3.1 13.8 取：

　p 1

　19044, p 2

　961 选取 _ 0 24 13"36"" ，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:

　序号 Xi A .Yi

　2 >7 1 26.2025 0.0005 0 0 2 26.2028 0. 0008 +0. 0003 9X10^ 3 26.2028 0. 0008 K) 0003 9X10 - * 4 20 2025 0. OOQo 0 0 5 26.2026 0. 0006 P. 0001 1X 10" 8

　6 26.2022 0* 0002 -0. 0003 gxKT 7 20.2023 0. 0003 -0. 0002 4X10 -9

　S 26.2025 0. 0005 0 0 9 26.2026 0. 0006 ■+O. 0001 1X10 - * 10 26.2022 0.0002 -o. 0003 9X10 -4

　 x = + A,ro = 26.2025 1 m A.vo - —V - 0 P 0005 1 昭

　2^ = 42x10* n 用贝塞尔公式计算: V i 2

　算术平均值的标准差: 2.2 10 4

　0.00007 mm 取与①相同的置信度，则测量结果为: x i 3

　此时①的测量结果为 26.2025 3 0.00022 26.2025 ②的测量结果为 26.2025 3 0.00007 26.2025 0.00066 26.2025 0.0007 (mm) ； 0.00021 26.2025 0.0002 (mm). 2-13 测量某角度共两次，测得值为 a 1 =24° 13"36”， a 2 =24° 13"24”，其标准 P l : P 2 19044:961 9.61 190.44 i 1 n 1

　9

　 加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差: V 1 0.6"",V 2 11.4"" 算术平均值的标准差为: “9044 0.6 2

　961 ( 11.4) 2

　66 "" V (2 1)(19044 961) . 2-15• 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。

　【证明】因为等精度测量，可设 n 个测得值的标准差均为 ，且其算术平均值的标准 差为：

　x

　n 又设各测量值的权相等，即：

　P 1 P 2 P i P 0 。

　n 个相等精度测得值的平

　均值的权为 p x ，贝 U : n 个相等精度测得值的平均值的权 P x 与各测得值的权 1 1 n 1 P i (i 1,2...n) 的比为 p x : p 2 : 2 : n:1 x i P x np i 2-17 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7 , 15.0 , 15.2 , 14.8 , 15.5 , 14.6 , 14.9 , 14.8 , 15.1 , 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

　解：先计算算术平均值：

　x 14.96 。各测量数据的残余误差分别为：

　V ] 0.26 v 6

　0.36 v 2

　0.04 v 3

　0.24 v 4

　0.16 v 5

　0.54 v 7

　0.06 v 8

　0.16 v 9

　0.14 v 10

　0.04 ① 根 据 残 余 误 差 观 察 法 ：

　计 算 出 的 残 余 误 差 符 号 正 负 个 数 相 同 ， 且 无 显 著 变 化 规 律 ,P i i i 1 o m P i i 1 24 13"354" 24 13"36"" 19044 0 961 (12"") 19044 961

　10

　因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。

　② 采用不同公式计算标准差比较法。

　 ③ （ 马利科夫准则 ）

　按残余误差校核法：前 5 个残余误差和与后 5 个残余误差的差值△ 为

　两部分之差显著不为 0 ，则有理由认为测量列中含有系统误差。

　④ 阿卑 - 赫梅特准则 n 1

　0.26 0.04 0.04 0.24 0.24 0.16 0.16 0.54 u vw 1 i 1 0.54 0.36 0.36 0.06 0.06 0.16 0.16 0.14 0.14 0.0 0.3056 0.3 、、 n 1 2

　.9 0.263 2

　0.21 u .百 2

　0.21 所以测量列中含有周期性系统误差 （为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差 们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。

　2-18 、对某一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的, 个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH ）：

　50.82 ， 50.83 ， 50.87 ， 50.89 ； 50.78 ， 50.78 ， 50.75 ， 50.85 ， 50.82 ， 50.81 试判断前 4 次和后 6 次测量中是否存在系统误差。

　按贝塞尔公式: v | 2 用别捷尔斯法计算：

　2

　1 253-" 1

　1.253

　____

　 Jn(n 1) J10 90.264 令：- 2 0.264

　1.004 1

　0.263 1 因为：

　2 2 0.667 n 1 、、 10 1

　0.004 ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。

　Vi i 110 V j 6 0.4 ( 0.4) 0.8 ---- 这就提醒我 ）

　后 4 次是和另一

　11

　【解】

　将两组数据混合排列，用秩和检验法有: n 1

　4,n 2

　6,T 5.5 7 9 10 31.5 QT 14,T 30,T T 所以有根据怀疑存在系统误差 2-19 等精度测得某一电压 10 次,测得结果（单位为 V ）为 25.94 , 25.97 , 25.98 ， 26.01 , 26.04 , 26.02 ， 26.04 ， 25.98 ， 25.96 ， 26.07 。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明 是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10 次等精度测量，测得结果 （单位为 V ）为 25.93 ， 25.94 ， 25.98 ， 26.02 ， 26.01 ， 25.90 ， 25.93 ， 26.04 ， 25.94 ， 26.02 。

　试用 t 检验法（取 a =0.05 ）判断两组测量值之间是否有系统误差。

　 v 9

　0.055 V| 0

　0.055 v 11

　0.085 V| 2

　0.065 ① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符 1 1

　x x 26.001 y y 25.971

　10 10 s； 丄（〉 < i

　x) 2

　0.00155 S 2

　S y 2 ( y y) 2

　 10

　 0.00215 (26.001 25.971) 10 10(10 10 2)

　Y(10 10)(10 0.00155 10 0.00215) 1.48 由 V =10+10-2=18 及取 a =0.05 ，查 t 分布表，得 t 2.1 因 t 1.48 t 2.1 ，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。

　2-20. 对某量进行了 12 次测量,测得数据为 20.06 , 20.07 , 20.06 , 20.08 , 20.10 , 20.12 , 20.11 ， 20.14 ， 20.18 , 20.18 , 20.21 , 20.19 ，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。

　【解】先计算算术平均值: 12 x x i

　20.125 。各测量数据的残余误差分别为: i 1 0.065 v 0.055 V 3 0.065 V 4 0.045 V 5 0.025 v 6

　0.005 0.015 v 0.015 【解】计算两组测量结果的算术平均值：

　12

　号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。

　② （ 马利科夫准则 ）

　按残余误差校核法：前 6 个残余误差和与后 6 个残余误差的差值△为 6 12 V i V i 0.26 0.26 0.52 i=1 i=7 两部分之差显著不为 0 ，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。

　③ 采用不同公式计算标准差比较法。

　④ 阿卑 - 赫梅特准则

　 因为：

　u .^7 2 ，所以测量列中含有周期性系统误差 （又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）

　2 - 21 对某量进行两组测量，测得数据如下: X i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 y i 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95

　试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

　解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表: T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X i 0.62 0.86

　 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21

　1.22

　1.26 1.30 y i

　 0.99 1.12

　 1.21

　1.25

　 按贝塞尔公式: 0.0321 12 1 0.054 用别捷尔斯法计算: 0.06 0.054 n V i 1.253—丄 Jn( n 1) 1.253— 055

　0.06 712 11 1 0.11 0.603 12 1 0.11 ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。

　1 VV

　1 1 0.02 11 0.054 2

　0.01

　13

　T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 X i

　 1.34

　1.39 1.41

　1.57

　y i 1.31 1.31

　1.38

　 1.41 1.48 1.50

　1.59 1.60 1.60 1.84 1.95

　T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174 m

　n . (n. n 2

　1) 山小 2 (n . n 2

　1) 因 n . n 2 15 10 ，秩和 T 近似服从正态分布， N (二1

　- , 1 2 — 1 —— 2 —— ) 2 Y 12 由 a (" (n 1 n 2

　卫) 232.5 ； 何2 (n 1 n 2

　D) 24.11 求出：

　2

　V 12

　 T a

　t

　------

　2.43

　 选取概率 2 (t) 0.95 ，即 (t) 0.475 ，查教材附表 1 有 t 1.96 。由于 t t , 因此，可以认为两组数据间有系统误差。

　选取置信概率 99% (显著度 0.01 ), 即取 (t) 0.495 ，由附录表 1 查得：

　t 2.60 。

　由于 t 2.43 t 2.60 ,故无根据怀疑两组数据间有系统误差。

　2-22 对某量进行 15 次测量,测得数据为 28.53 ， 28.52 , 28.50 , 29.52 , 28.53 , 28.53 , 28.50 , 28.49 ，28.49 , 28.51 , 28.53 , 28.52 , 28.49 , 28.40 , 28.50 ，若这些测得值已消除系统误差, 试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测 量值。

　【解】将有关计算数据：平均值、残差 v i 等列于表中:

　14

　庁号 Xt 片 5 片 V ；

　■1 F-" 1 23.

　53 -0. 04

　0.03 0" 0009

　28. 范 -0. 05 0 +

　0025 0.02 0. 0004 3 28, 50 07 0,0049 0 0 4 29. 52 0,95 0.9025

　 5 28. 53 -0. 04 0.0016 0.03 0. 0009 S 28. 53 -0. 04 0.0016 0.03 0” 0009 7 28~ 50 -0.07 0. 0049 0 0 8 28. 49 -0. 08 0.0064 01 0. 0001 9 29. 40 -0. 08 0.0064 -①01 0” 0001 10 28.51 HX 06 0.0036 0.01 6 0001 11 28, 53 -0 04 0.0016 0.03 0. 0009 12 28. 52 -0.05 0. 0025 0.02 0. 0004 13 2S. 4S -0. 08 0.0064 01 0. 0001 14 28. 40 -0. 17 0 +

　0289 -0. 1 6 01 15 28. 50 HX 07 ①心日 0 0

　7= ：

　28.57 15 工片= 0.01 J-9 Vv J r = 0.9S03 Z 片 -0.04 F-J a

　直接求得 15 个数据的算术平均值及其标准差:

　 ① 用莱以特准则判别粗大误差 因 V 4 0.95 3 0.795 ，故第 4 个测量数据含测量误差，应当剔除。

　再对剩余的 14 个测得值重新计算，得:

　3 0.0337 0.1011 由表知第 14 个测得值的残余误差：

　v" （ 14 ）

　0.17 3 0.1011 ，故也含粗大误差， 应剔除。

　再重复验算，剩下的 13 个测得值已不包含粗大误差。

　② 用格罗布斯准则判别 已经计算出 15 个测量数据的统计特征量：

　X 28.57, 0.265 。X — 28.57 15 i i ° 1 14

　X 14 i i 28.50 0.0148 ■■ 14 1 0.0337

　4 15

　将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：

　x ⑴

　28.40,X “ )

　28.57 28.4 0.17 x ( 15 ) 29.52,x ( 15)

　x 29.52 28.57 0.95 柠先刿别可国是杏含有粗人误差：

　g (15 ］

　= = 29,52-28.57 =

　㈣

　酮 <7 0,265 查表 2-13 得：

　g/15. 0 05) = 2.41 则：

　g (IJ)

　= 3.585 0.05) 241 故第 4 亍测得数据包含飙大误建.应当剔除. 再对剩卜的 1 斗个测得值计畀，判断％)是否含有粗大谋差亠已知：7 = 28.50. cr =0.054 =2.94 <14. O.O5J = 2.37 S ( iy

　= 2-JiM a

　宫口 £14- O.O5> = i.37 故第 14 个测烈扎啟抑 f 也包含* H 人泯建. 屁円别除 q 再 心 豆椅輪* H ； 「亡各测」符怕心不再但含半 H 人俣摆” ③ 用秋克松准则判别 将测得的数据按从小到人的顺序排列，有; x^j — 2&40. "*再—x^j =2&49、 判断最小值％［与最大值耳他是否包含粗大误差。l^n=15,以统计绘$和 F 避计算

　査表 2J 斗得 qg 0.05) = 0.525 t 因; r B

　=1.04 >^(15, 0.05)和 = 0.692>r 0 (15, 0.05) 故 S

　和耳⑸〔即 M 测的第 4 和第 2 个测验值［包含粗大误莖.应予捌除匸 再啦复检验剩余的□个测得債，已不再但含粗大误雄.

　试求 x 的测量结果及其标准差？ “ - 1 44 - 2 18 - 【解】

　x 1

　竺 0.72, x 2

　218

　0.727, x 3

　2 3 选取 P 1 5, P 2 1,P 3 1吾巴衣 2 -1 3

　r j ：

　Y — ¥ 缶= ----------

　T (1) — L T (13) 28.40-28.49 "2S.40-28.53 =0,692 2-26 对某被测量 x 进行间接测量得: 2x 1.44,3x 2.18,4x 2.90 ，其权分别为 5:1:1 ， 2.90 0.725, 28.50 — 28 ^40 0.034 29,52 —2&53 29.52 28.49

　16

　可由公式直接计算加权算术平均值和标准差:

　加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差: v x1

　X | x 0.002, v x2

　0.005, v x3

　0.003 算术平均值的标准差为: 5 0.002 2

　1 0.005 2

　1 0.003 2

　 ---------- 0.002 (3 1)(5 1 1)(72.003 0.052)mm ，按公式计算圆盘面积 S D 2 /4 ，由 于选取 的有效数字位数不同，将对面积 S 计算带来系统误差，为保证 S 的计算精度与直 径测量精度相同，试确定 的有效数字位数？ 【解】测得 D 的平均值为 72.003mm 由 S 卫得: 4

　 SD 0.0045 0.004 取 4 位有效数字

　50 1 0.007 1 0.005 5 1 1 0.722 m 2 P i V xi i 1 m (m 1) i P i lim x 3

　x x 0.722 0.006 3 0.002 0.006 2-28 测量圆盘的直径 2.0480 2

　1.04230 9.81053(m/s 2 ) 当 D 有微小变化 D 、 有 变化时， S 的变化量为: 0.052 3.1416 72.003 2 (0.052) 72.0032

　0.052m5.8813 72.OO32

　4

　17

　第三章误差的合成与分配 3-2 为求长方体体积 V ，直接测量其各边长为：

　a 161.6mm, b 44.5mm,c 11.2mm , 已知测量的系统误差为 a 1.2mm, b 0.8mm, c 0.5mm ，测量的极限误差为 0.5mm, c 0.5mm ，试求立方体的体积及其体积的极限误差 V abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：

　3 V o abc 161.6 44.5 11.2 80541.44(mm ) 体积 V 的系统误差为: 5 dV dv dv , 人 M M Ar =

　—

　3

　+

　AZ J + ---------- Ac = abc

　——十——+ —— da Ob de

　L 柑 _.. .. 1.2 — 0.8 0.5 f

　彳、 =S054L44

　----------- 1- ------- 1----- = 2745.744 (nmr) _16L6 44.5 1L2_ 考虑测量系统误差后的立方体体积：

　卩二％ -"二 80541.44-2745744 = 77795.696 离 7779570 (mm 3 ) 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：

　y 砰昂爭 7+ 莎 \ Cfl cb GC M = 士 血爲 F +("§) =±<[44,5 x 11.2 x (+0.8)] 2

　+ [16L6 x 11.2 x (+0,5)] 2

　+ [1616x 44.5x (+0.5)] 2

　=±V398.72 2

　+9Q4.96 2

　-I-3595.6 2

　=3729.1 (urn?) 3 故测量结果为：

　V lim V 77795.70 3729.1(mm 3 ) 3 — 3 长方体的边长分别为 a 1 , a 2 , a 3 测量时：①标准差均为 b； ②标准差各为 b 1 、 （T 2 、 b 3 。试求体积的标准差。

　解：长方体的体积计算公式为：

　V a 1

　a 2

　a 3

　0.8mm, b

　【解】立方体体积: 体积的标准差应为: 现可求出: V a 1 a 2

　18

　右：

　1 2 3 则有：

　/( V

　) 2 2

　、 a 1 V 2

　() 2 a 2 2 ( V ) 2 2 2 ( )

　3 a 3

　V 2

　() 2 a 2 () 2

　a 3

　.(a 2 a 3 ) 2

　(粢 3 ) 2

　品 2 ) 2

　 若：

　1 2 3 2 2 2 2 2 2

　2 2 2 2 2 2 则有：

　V

　； (* 2 & 3 )

　1 @1& 3 )

　2 @02 )

　3 3-4 测量某电路的电流 I 22.5mA ,电压 U 12.6V ,测量的标准差分别为

　 i 0.5mA, U

　0.1V ，求所耗功率 P UI 及其标准差 p 。

　【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：

　P UI 12.6 22.5 10 3

　0.2835W P 3 P

　I 22.5 10 U 12.6U

　I

　8.55 10 3 (W) 若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为

　x

　(22.5 10 3

　0.1) 2

　(12.6 0.5 10 3 ) 2

　.36.69 500625 10 6.69 10 3 (W) 3-6 已知 x 与 y 的相关系数 xy

　1 ，试求 u x 2

　ay 的方差 U 【解】属于函数随机误差合成问题。

　 P .(I U ) 2

　(U i ) 2

　19

　,8 U . 2

　1 2 Sli CH ① +2 -■ p (j x ( j ex

　3r ex

　By ■/ #" =(2 小( 7； +n 2 (7^ + 2 x 2,vx x(-l)cr.(7 V

　= (2.vcr - aa. ) 2

　鼻 」＞ A

　A Jr 3-8 如田艮 5 朋眾加惡碟链测屋扎的直艳 D.其郸 f 宜檢分别拘厲越励出電裔井射为耳局, 试求挖测孔径 D 昌备宜读厠园量的函贺兼乘 0=口畐血，及，比）就直逞迫僅递盔麹- 【阑】由几何羌爺％求鞭厕孔程 D

　 3-12 按公式 V=n

　r 2 h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm, h 约为 20cm, 要使体积的相对 误差等于 1 %,试问 r 和 h 测量时误差应为多少 ？ 解：

　若不考虑测量误差，圆柱体积为 2 2 3 V r h 3.14 2 20 251.2cm 根据题意，体积测量的相对误差为 1 %,即测定体积的相对误差为：

　1% V 即 V 1% 251.2 1% 2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r 的误差应为：

　■抽十血）+ +属-耳賀盅■風十凤）

　£•

　&D P7 K /

　_

　/ / 日 Q 1 认-去十 2R|| - 2H% &^~~2』 d, 十丹,-兀)随-乩 +HJ J y，

　k z J ^22

　BL>

　1 苕-切+ 厂 2 團 卄绚）— &D

　客亘楼團量壘的碳把槎連藍颇凰下・ 田 3■

　20

　2.51 1 1.41 2 hr 0.007 cm

　21

　测定 h 的误差应为:

　 3-10 假定从支点到重心的长度为 L 的单摆 振动周期为 T ,重力加速度可由公式T 2

　g 给 出。若要求测量 9 的相对标准差才0.1 % ，试问 按等作用原则分配误差时，测量 L 和 T 的相 对标准差应该是多少? 解：由重力加速度公式， T 2

　■ L 得，

　 4 2 L T 2

　因为， T 2

　8 2 L T 3

　 2.51 1 2 V / h 1.41 r 2

　0.142cm 因为测量项目有两个，所以 n 用原理分配误差， 按等作 9 1 L

　n卫 L 丄 1 9 L 2 9 g T 2

　24 2

　4 2 L 9 9 .2 4 2

　9 L 29 ； 9 L

　1 0.1% 0.07072% T 2

　4 2 L

　6 6 5 6 3 3 22

　同理,

　第四章测量不确定度 评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为 1 ）

　分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。

　2 ）

　评定标注不确定度分量，并给出其数值 U i 和自由度 V i 。

　3 ）

　分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数 p ij 。

　4 ）

　求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度 U c 及自由度 V . 5 ）

　若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度 U c 乘以包含因子 k ，得展伸不确定 度 U=k U c 。

　6 ）

　给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值 y 及合成标准不确定度 u c 或展伸不确定度 U ，并说明获得它们的细节。

　根据以上测量不确定度计算步骤。

　4 — 1 某圆球的半径为 r ，若重复 10 次测量得 r ±c r =（3.132 ± 0.005）cm ，试求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99 %。

　【解】①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为：

　D 2 r 其标准不确定度应为：

　u . D

　: .. 2 2

　2 4 3.14159 2

　0.005 2

　\ r = 0.0314cm 确定包含因子。查 t 分布表 t 0.99 （ 9 ）= 3.25 ，及 K = 3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

　U = Ku = 3.25 X 0.0314 = 0.102 ②求圆球的体积的测量不确定度 4 3

　圆球体积为：

　V r 3

　3 其标准不确定度应为：

　g 1 T

　n_g 1 g g T 3

　g T 2

　T ,28 2 L 2 8 2 L 竺 L T

　g g

　匕■ ■ »

　T

　2 8 2 L 22g 2 2 g1

　日 22g 综上所述， 0.07072% _[ 0.1% 0.03536% 2 2 测量 L 和 T 的相对标准差分别是 和 0.03536% 。

　23

　U x 14 10 6 1 10 2 1.6 10 5

　16 10 9.24 10 1.6 10 2 i

　______________

　u J 上 r 2

　”4 r 2

　2 ：

　v"16 3.14159 2

　3.132 4

　0.005 2

　0.616 丫

　r 确定包含因子。查 t 分布表 t o.01 （ 9 ）= 3.25 ，及 K = 3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 U = Ku = 3.25 X 0.616 = 2.002 4-3 测量某电路电阻 R 两端的电压 U ,由公式 | U

　算出电路电流 | 。若测得

　4-6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其 2V 量程的测量误差不超过 ± （14 X 10 -6 读数 +1 X 10 -6

　X 量程 ）V ，相对标准差为 20 %，若按均匀分布，求 1V 测量时电 压表的标准不确定度；设在该表校准一年后，对标称值为 1V 的电压进行 16 次重复测量， 得观测值的平均值为 0.92857V ，并由此算得单次测量的标准差为 0.000036V ，若以平均值 作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。

　【解】（ 1 ）测量误差 根据相对标准差为 20% 由 B 类评定，根据 1 12.5 , V 服从均匀分布, 2（ 」）

　2

　U （14 10 6 读数 1 10 6 量程 ）

　，所以在区间（ x-a,x+a ）中

　 u (16.50 0.05)V 、 R R

　(4.26 0.02) ，相关系数 UR

　0.36 ，试求电 流 I 的标准不确定度。

　【解】

　I U /R I 1 I U 2 U R R R 2

　且 2V 量程测量误差

　6 6 5 6 3 3 24

　一年后，对标称值为 1V 的电压进行 16 次重复测量 X 0.92857V x 0.000036V (2) 不确定度评定 影响测量结果不确定度的主要来源: A 16 次重复测量误差 B 电压表的示值误差 C 电压表的稳定度 A 测量重复误差引起的不确定度

　电压重复性引起的标准不确定度 U X1 属于 A 类评定 u x V

　9 10 6

　9 V 自由度：

　1 =16-仁 15 B 标准电压表的示值误差引起的标准不确定度 u X2

　示值误差按均匀分布计算，属于 B 类评定 自由度：

　2 二」 1

　=12.5 2 ( _ ) 2 2 (20%) u C 稳定度引起的标准不确定度 u X3

　电压表稳定度按均匀分布，属 B 类评定

　合成标准不确定度 % ,u x1 2

　u x2 2

　u x3 2

　.(9 10 6 ) 2

　(8.08 10 6 ) 2

　(1.15 10 6 ) 2

　28.0 10 6

　28.0 V 4 u 公 自由度：

　c 4

　迁 4

　28.0 10 6

　28.0 V u x1 u x2 u x3 1 2 3 4-9 用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流， 5 次测量的平均值为 0.320mA, 平均值的标准差为 0.001mA; 已知漏电测量仪的示值误差范围为 5% , 按均匀分布，取相对 标准差为 10% ; 测量时环境温度和湿度的影响范围为 2% , 按三角分布，其相对标准差V 0.92857V 0.000036V 6 14 108.08 10 8.08 10 自由度：

　3 = 12.5 X 3

　25

　为 25%； 试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为 【解】

　（ 1 ）不确定度评定 对泄漏电流测量不确定度影响显著的因素有：

　A 泄漏电流测量重复性引起的不确定度 5 B 示值误差引起的不确定度 u 2

　C 环境温度与湿度引起的不确定度 求 5 、氏、U 3 A 测量重复误差引起的不确定度

　示值误差（均匀分布）

　u c

　0.010mA 10 A （3 ）展伸不确定度 取置信概率 P 99%， =57 ，查 t 分布表，得 t 0.99 (57) 2.68 ， 泄漏电流测量的展伸不确定度为 U i 0.001mA 1 A V 99% )。

　5 — mA 9.24

　A 2( h 1 2 (10%) 2

　50 环境温度（三角分布）

　\ °. 320 — 2 % 2.61 10 3 mA 6 、、 6 2.61 A U 3 x 2 （2 ）不确定度合成 因不确定度各个分量相互独立，即 ij 0 ，合成的不确定度为: u c

　,u 1 2

　u 2 2

　u 3 2

　、, 1 2

　9.24 2

　2.61 2

　9.65 V 0.00965mA 自由度: 4 % 4 4 4 u 1 u 2 u 357.1 根据“三分之一准则” ，对标准不确定度进行修约得

　26

　U ku c 2.68 9.65 25.862 0.025862mA 根据“三分之一准则” ，对展伸不确定度进行修约得 U 0.026mA 26 A (4) 不确定度报告 1 )用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

　I 0.320mA u c 10 A 57.1 2 )用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

　I (0.320mA 0.026)mA P 0.99 57

　27

　第五章最小二乘法原理 参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：

　由误差方程 V L AX 且要求 V T V 最小，则：

　V T V (L AX ) T (L AX) ( L T

　X T A T )( L

　AX) L T L L T AX X T A T L X T A T AX

　 dX [f(x)g(x)] = g(x)[ dX f(x)] f( x ) [ dX g ( x ) ]

　 —f( X) L T A

　L T A

　( A T AX ) T

　X T A T A

　dX

　L T A

　X T A

　T A

　A T L

　A T AX

　 X (A T A) 1 A T L

　d dX 7

　f(X)=[ dXf ( x ) ] 令其等于 f( X),要 f( X)最小，需其对应偏导为 0: 所以：

　0 理论基础：

　28

　5-1 由测量方程 3x y 2.9 x 2y 0.9 2x 3y 1.9 试求 x 、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。

　【解】方法一（常规）

　1 、列出误差方程组

　分别对 x,y 求偏导，并令它们的结果为 0 2((3x y) 2.9) 3 2((x 2y) 0.9) 2((2x 3y) 1.9) 2 0 2((3x y) 2.9) 2((x 2y) 0.9) 2 2((2x 3y) 1.9) 3 0 亦 14x 5y 13.4 即：

　5x 14y 4.6 由上式可解得结果：

　x=0.9626 y=0.0152 2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数

　 i a i1 a i2 2 a i1 2 a i2 a 1 a i2 l i a i1 l i a i 』 1 3 1 9 1 3 2.9 8.7 2.9 2 1 -2 1 4 -2 0.9 0.9 -1.8 3 2 -3 4 9 -6 1.9 3.8 -5.7

　--- --- 14 14 -5 --- 13.4 -4.6 可得正规方程

　14x 5y 13.4 5x 14y 4.6

　将 x,y 的结果代入分别求得：

　V 1 2.9 (3 0.9626+ 0.0152)= 0.003 V 2 0.9 (0.9626 2 0.0152)= 0.0322 V 3 1.9 (2 0.9626-3 0.0152) = 0.0204

　 V 1 2.9 (3x 2y) V 2 0.9 (x 2y) V 3 1.9 (2x 3y)

　2 V = (2.9 (3x 2 2 2 y)) (0.9 (x 2y)) (1.9 (2x 3y)) 3

　29

　 解得 dn 0.0819 d 22 0.0819 x 、石 0.0382,0.0819 0.0109 y 、忑 0.0382.0.0819 0.0109 方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程 V LAX v 1

　2.9 (3x 2y) V 2 0.9 (x 2y) v 3 1.9 (2x 3y) 上式可以表示为 v 1 l 1 3 1 x 即

　 v 2 〔 2 1 2 2 3 y

　v 3 〔 3

　 v 1

　〔 1 2.9

　3 1

　x V v 2 L l 2 0.9 A 1 2 X y

　v

　l 3 1.9

　2 3

　 可得：

　X C 1 A T L

　(A T A)

　1 A T L

　y 式中：2 得， i1 V i

　2 2 V | v 2

　2 2 v 3

　( 0.003) 2 (0.0322) 2 (0.0204) 0.00146 n 3, t 3 1 2 w n t

　14d 11

　5d 12

　1 14d 21

　5d 22

　0 5d 11

　14d 12

　0 5d 21

　14d 22

　1 由题已知， 1 - 46 10 3

　0.0382

　30

　C 1

　（ A T A ）

　1

　 所以：

　X 1 T

　X C 1 A T L y

　2.9 2.91 14 5 3 1 21 47 4 13

　 0.9 0.9171 14 5 1 2 3 171 29 23 32

　1.9

　1.9 1 164.6 _ 0.9626 171 2.6 _ 0.0152

　将最佳估计值代入误差方程可得,

　 V 1 l 1

　3 1

　 XV L AX

　V 2 I 2 1 2

　I 3 2 c y

　V 3 3 2.9 3 1 0.9626 0.0030 0.9 1 2 0.0152 0.0322 1.9 2 3 0.0204将计算得到的数据代入式中

　为求出估计量 x,y 的标准差，首先求出不定常数 d ij (i, 由已知，不定常数 d j 的系数与正规方程的系数相同，因而 d j 是矩阵 C C 1 d 11 d 12 1 14 5

　d 21 d 22 171 14 5

　1.46 10 3

　3-2 0.0382 3 1 2 14 5 1

　14 5 1 2

　1 2 3 5 14 14 5 14 52 3

　 5 14

　14 5 14 5 即解得, x 0.9626 y 0.0152 1,2）

　。

　中各元素，即 3 1 1 17

　31

　d 11

　0.0819 171 4 d 22 0.0819 171 可得估计量的标准差为 X 、石 0.0382.0.0819 0.0109 y ,d 22 0.0382 、 0.0819 0.0109 5-5 测力计示值与测量时的温度 t 的对应值独立测得如下表所示。

　t/ C 15 18 21 24 27 30 F /N 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78 设 t 无误差， F 值随 t 的变化呈线性关系 F k g kt ，试给出线性方程中系数 k o 和 k 的最 小二乘估计及其相应精度。

　解法一：利用矩阵求解，误差方程 V L A X 可写成

　V 1 I 1 1 15 V 2 l 2 1 18

　V 3 l 3 1 21 k V 4 I 4 1 24 k V 5 l 5 1 27

　V l 6 1 30

　 V 1

　h 43.61 1 15

　V 2

　l 2 43.63 1 18

　V 3

　〔 3 43.68 1 21

　k V L A X V 4

　I 4 43.71 1 24

　k

　V 5

　I 5 43.74 1 27

　V 6

　〔 6 43.78 1 30

　 可得 X C 1 A T L (A T A)

　1 A T L

　32

　式中 C 1

　(A T A) 1

　1 1 15

　1 18

　 1 1 1 1 1 1 1 21 = — 1 6 135 15 18 21 24 27 30 1 24 135 3195

　1 27

　 1 30

　 1 3195 135 = 1 3195 135

　6 135 135 6

　945 135 6

　135 3195

　 所以

　、/ k o

　XC 1 A T L

　k

　 43.61

　43.63 1 3195 135 1 1 1 1 1 1 43.68 945 135 6 15 18 21 24 27 30 43.71

　43.74 43.78 43.4324 0.01152

　 V 1 1 1 1 15

　0.0048 V 2 1 2 1 18

　0.00976 V 3 I 3 1 21 43.4324 0.00568 V3 —

　V 4 1 4 —

　1 24 0.01152 0.00112 V 5 1 5 1 27

　0.00344 V 6 1 6 1 30

　0.002 将最佳估计值代入误差方程 V L AX , 得

　33

　为求出估计量 k ° , k 的标准差 ， 需要求出不定乘数 d ij 的系数，而不定乘数 d ij 的系数与正规 方程的系数相同，因而 d jj 是矩阵 C 1 中各元素，即

　6 6 nk 0 t i k F i i 1 i 1 6 6 6 t i K) t i k t i F i i 1 i 1 i 1

　 6k 0

　135k 262.15 135k 0

　3195k 5900.19

　 t i i 1 135 t i 2

　1 3195 6 t i F i 5900.19 F i

　262.15 解得: k 0

　43.4324 k 0.01152 d 11 d 12 1 3195 945 135 135 6 dn 3195 3.38095 945

　 d 22 6 0.00635 945

　 可得估计量的标准差为 k0 k1 、 .dH 0.00647. 3.38095 ,22 0.00647 0.00635 0.00119 0.000516 解法二：，由 V i

　F i (k 0 kt i ) 得正规方程组: 正规方程为: d 21 d 22

　34

　V 1 h 1 15

　0.0048

　V 2 l 2 1 18

　0.00976

　V 3 l

　3 1 21 43.4324 0.00568 V

　 V 4 I 4 - 1 24 0.01152 0.00112

　V 5 l 5 1 27

　0.00344

　V 6 l 6 1 30

　0.002

　5 - 7 不等精度测量的方程组如下: x 3y 5.6, P 1 4x y 8.1,P 2 2 2x 3y 0.5,P 3

　T 1 T (A PA) A PL6d 11

　135d 12

　1 135d 11

　3195d| 2

　0 6d 21

　135d 22

　0 135d 21

　3195d 22解得: 3.38095 0.00635 k) k1 石 0.00647 3.38095 0.00119 ,d^ 0.00647 、 0.00635 0.000516 试求 x,y 的最小二 一乘法处理及其相应精度。

　解法- -：利用矩阵计算

　 1 3

　h

　A 4 1 L l 2

　 2 1

　l 3 由

　5.6

　x 1 0 0 8.1 X y P

　0 2 0 0.5

　0 0 3

　0.00647

　35

　C A T A

　A T PA

　 1 0 0 1 3

　1 3

　 1 4 2

　1 8 6

　 0 2 0 4 1 4 1

　3 1 1

　3 2 3

　 0 0 3 2 1

　2 1

　45 1

　 1 14

　 得

　C 1

　1 14 1 1

　14 1 则

　45 1

　 1 45 629 1 45

　 1 14

　 X x T _ 1 ■ T.PL = C 1 T PL

　 (A PA) A A

　 y

　1 0 0 5.61 14 1 1 4 2

　0 2 0 8.1629 1 45 3 1 1

　 0 0 3 0.5

　1.435 2.352 将最佳估计值代入误差方程 V L AX ，得

　 V 1 5.6 1 3 0.021

　 1.435 V v 2

　8.1 4 1 0.008

　2.352 V 3 0.5 2 1 0.018

　可计算

　 又知 0.02226 0.0223 0.07154 0.07151 0.021 2

　2 0.008 2

　3 2 3 ( 0.018) 2

　0.0392 d ii d 22 14 629 45 629

　36

　 x ,d 11 0.0392 0.0223 0.0059 y

　.石 0.0392.0.0715 0.0105

　可得估计量的标准差为 解法二：正规方程为 P f a^x Ra ii^ y R a i1 i 1 a i2 X Ra i2 y i 1 i Rmh 1 3

　3 3 R a i1 45 Ra i1 a i2 1 Ra i1 1 3

　i 1 3 i 1 Ra：14 Rd 』 i 1 31.5

　i 1 i 1 R a i1 l i i 1 3 3 3 62.2 代入正规方程得: 45x

　y 62 ・ 2

　解得 x 1 . 435

　x 14y 31.5 y 2.352 V 1

　5.6 (1.435 3 2.352) 0.021 V 2

　8.1 (4 1.435 2.352) 0.008 V 3

　0.5 (2 1.435 2.352) 0.018 V T PV n t 1

　°.° 21 2 2

　°. 008 2 3 (

　°.° 18 ) 2

　0.0392 45d 1d 12 1 45d 21 d ?2 0 d 11 14d 12 0

　d 21 14d 22 1 得: d 11 0.0223

　 -得：

　d 22 0.0715

　x 寸d 11 0.0392 、、0.02230.0059

　y ,22 0.0392.0.0715 0.0105

　3 2 5 - 10 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式， 并给出未知参数 x 1 ?

　x 2 的二乘法处理 及其相应精度。

　37

　v 1

　5.13 x v 2

　8.26 x 2

　 V L AX 可解得 x, X 2 的近似估计值 Xe, X 20 利用矩阵形式求解:

　可得 X x

　=

　C 1 A T L (A T A)

　1 A T L

　X 2 式中 C 1

　(A T A) 1

　1 1 0 1 1 0 1 2 1 1

　2 1 0 1 - 0 1 1 1 2 3 1 2 1 1 所以 X 1 1 T X 1

　= C 1 A T L

　X 2

　 5.13 5.131 2 1 1 0 1 1 2 1 1

　 8.26 8.263 1 2 0 1 1 3 1 2 1

　 13.21 13.21 2. 取 X 1 ,

　x 2

　得近似值 x 10 =5.0700, X 20 = 8.200 ，令

　可将误差方程线性化，现分别对测量方程求偏导v 3

　13.21 (为 x 2 ) 解：

　V4 3.01 NX X1 X 2

　1 1 5.13

　v 1 L 1 2 8.26 V V2

　1 3 13.21

　V3 1 0 A 0 1 1 1 X1 X 1. 由前面三个线性的误差方程 1 15.2100 3 24.6000 5.0700 8.2000 X 1 X 2 X 10 1 X 2o +

　38

　 a )1 丄 X 1 f 2 X 1 x i a i2 X 2 a 31

　X 1 X 10 1 a f 3 32 X 2 X 20 1

　X 1

　 X 2

　 a 41 f 4

　X 2 ( X 1 x 2 ) x 1 x 2

　 x ；

　X 1 X X10 ( X 1 X 2 ) 2

　 X 勺 X10 勺0( X1X 2 ) 2

　X X 10 勺Xa 42 f 4

　X 1 ( X 1 x 2 ) x 1 x 2

　 2 X 1

　X 2 x2 冷 0 ( X 1 X 2 ) 2

　 X X 2 X10 冷(X 1 X 2 ) 2

　X X 10 冷x20 则误差方程化成线性方程组 1 V L A 3 ,

　 V 1

　l 1 I 1 f 1 ( X 10 , X 20 )

　 0.06

　0 1 a 21 a 22 X| X| 0 X 2 色0 0.3818 0.1460 1 L" A f 2 X 2 V" 2

　V 3 V 4 0.04 0.06 0.12

　a 12 1 0 * 21 A21a 22 0 1 a 31 * 32 1 1 * 41 a 42 0.3818 0.1460 可得

　3= 1

　= C 2 1 T T 1 T 1 A T L"

　(A T A)

　1 A T L

　 f 2 (x 10 , X 20 ) f 3 (X 10 ， X 20 ) f 4 (X 10 , X 20 )

　12 13 14 12 13 14 式中 C 1

　（ A T A ）

　1

　1 0 1 0.3818 0 1 0 1 1 0.1460 1 1

　0.3818 0.1460 2.1458 1 1.0557 0.6272 0.3276 1.0557 2.0213 0.3276 0.6658

　1

　39

　所以 S 1

　C 1 A T L

　2

　0.06

　0.6272 0.3276 1 0 1 0.3818 0.04

　0.3276 0.6658 0 1 1 0.1460 0.06

　0.12

　0.06

　0.6272 0.3276 0.2996 0.1916 0.04

　0.3276 0.6658 0.3382 0.0279 0.06

　0.12

　0.0164

　0.0100

　 解得 : 1 2 0.0164 0.0100

　则 N No X 2 X 20 尸 5.0700 0.01645.0536 2 =8.2000 0.0100=8.1900

　将 X i , x 的最佳估计值代入误差方程计算可得,

　 5.13 5.0536 0.0764 8.26 8.1900 0.0700 V

　13.21 13.2436 0.0336 3.01 3.1252 0.1152

　可得

　可得估计量的标准差为,再由 C 1

　0.6272 0.3276 dl |1 0.6272

　 则

　 0.3276 0.6658 d 22 0.6658

　2 40

　d 11 0.1120、、0.6272 0.0887 忑 0.1120 0.6658 0.0914 解法二 二设 x 10 =5.13, X 20 = 8.26 ，则 X 1 X 2 5.13 8.26+

　 a 11 1 a 12 0

　 a ?1 0 a ?2 1

　 由题意得：

　 则

　a 31 1 a 32 1

　 a 41 0.38 a 41 0.15

　 V 1 5.13 (5.13l)

　V 2 8.26 (8.26 2 )

　1 2 整理得: 1 2 )

　13.21 (8.26 5.13)( V 4 3.01 8^^ (0.38 8.26 5.13 1

　0.14 V 1 1 V 2 2 V 3 O. 18

　( 1 2 )

　v 4

　0.15 (0.38 1

　0.14 2 ) 标准正规方程为：

　4

　4

　4

　2 a i1 1

　a i1 a i2 2 a i1 l i

　 i 1

　i 1

　i 1

　 4

　 4 4

　a i1 a i2 1 2 a i2 2 a i 2 l i 1

　i 1

　 i 1 i 1

　 4 2 a i1 4

　4

　2.14 8 1 8 2 1.057 a i1 式中

　i 1 3

　i 1 3 i 1

　2 a i22.0225 a i2 l i 0.2025

　 i 1

　 i 1

　 1 0.237 2.14 1

　1.057 2

　0.237 1.057 1

　2.0225 2

　0.2025 解得: 0.083 0.056 则X 1 5.13 1 5.13 0.083 5.047

　x 2

　8.26+ 2

　8.26 0.056 8.204

　41

　 V 1

　0.083 V 2

　0.053 V 0.041 V 4

　0.11 0.11

　 x

　石 0.11063 0.087 X2

　、.忑 0.11 、 067 0.09

　2.14d 11

　1.057d 12 1 1.057d 11

　2.0225(^ 0 2.14d 21

　1.057d 21

　1.057d 22

　0 2.0225d 22 1 解得: 0.63 du 0.67 0.0237 4-2

　42

　6 . 1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下: 正应力 x/Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度 y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 x/ Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 y / Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9

　假设正应力的数值是精确的，求 ①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

　② 应力为 24.5 Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ 解：① 序号 x/Pa y/Pa 2 x 2 y xy 1 26.8 26.5 718.24 702.25 710.2 2 25.4 27.3 645.16 745.29 693.42 3 28.9 24.2 935.21 585.64 699.38 4 23.6 27.1 556.96 734.41 639.56 5 27.7 23.6 767.29 556...

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