4年级-21-统筹与规划-难版

　 1 第 21 讲 统筹与规划

　 在我国古代，人们就知道：“运筹于惟幄之中，决胜于千里之外。”现代人以此来说明正确地制定策略、策划、统筹安排的重要作用。只有掌握了最优化的思想，合理统筹安排操作程序，才能够提高效率，节省人力、物力、时间，争取获得最好的结果。这种思想还可以使我们养成遇事爱动脑筋，做事合理安排的良好习惯。在这一章节中我们将通过对一些例题的介绍，使大家熟悉如何合理统筹安排。

　【例 1 1 】

　★ 车间里有一批 6 16 米长的原材料，现在要截成 6 6 米长的毛坯 0 40 根，4 4 米长的毛坯6 36 根，试设计最省料的下料方案。问要几根原材料？

　【解析】先找到把 16 米的原材料截成 6 米和 4 米两种毛坯的不同方法。然后从中找到最优的方案。16 米原材料下料方法如下表：

　要使原材料不出现浪费，截取原材料的方法应从第一种和第三种方法中选取。由于第三种方法中只能得到一种 4 米的毛坯，因此应先采用第一种方法，截取 20 根原材料，这时得到 6 米的毛坯 40 根，4 米的毛坯 20 根。那么还需得到 4 米的毛坯 36-20=16（根），这 16根 4 米的毛坯采用方法三，需要原材料 16÷4=4（根）。这样正好满足题目的要求。

　解答过程：

　典型例题 知识梳理

　 2 欲使原材料不浪费，截取 16 米原材料的方法有两种：方法一：截成 2 根 6 米的毛坯和1 根 4 米的毛坯。方法二：截成 4 根 4 米的毛坯。先按方法一截 20 根原材料，得到 40 根 6米毛坯和 20 根 4 米毛坯。再按方法二截 4 根原材料，得 16 根 4 米毛坯。可满足题中条件，共需 20+4=24（根）原材料。

　【例 2 2 】

　★ 在火炉上烤烧饼，烤好一个烧饼需要 4 4 分钟，每烤完一面需要 2 2 分钟，炉上只能同时烤 2 2 个饼，现在需烤 1 201 个烧饼，至少需要多长时间？

　【解析】烤一个烧饼，每一面需要 2 分钟，两张饼有 4 个面，共需 8 分钟，而一个炉上可以同时放 2 个饼，则可节约一半的时间，那么烤两个饼需 8÷2=4（分钟）。现考虑烤三张饼的情况，为了充分利用炉子，不至出现浪费的情况，可以这样安排，先把两张饼放进去，2 分钟后把一个翻面，另一个取出，再放一张新的进去，再过 2 分钟后，取出熟的；把原来取出的放回，并把炉里的翻面再烤 2 分钟即可，那么烤三张饼需至少 2+2+2=6（分钟）。要烤 201张饼，由于 201 是奇数，可以将它们分成两个饼为一组的和三个饼为一组地分别按照两种烤法进行。

　解答过程：

　将 201 张饼，分成 2 个饼为一组，共有（201-3）÷2=99（组），共需 4×99=396（分钟）。剩下的三个饼为一组，在这组中先将前 2 个放进去，2 分钟后将一个翻面，另一个取出，放入新的，再过两分钟后，将熟的取出，把另外两个翻面后放入，再过 2 分钟后烤好。这样总共用了 396+6=402（分钟）。

　【小试牛刀】《

　小学生数学报

　》

　数学邀请赛）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下 2 块饼的锅来烙

　2007 块饼，至少需要多少分钟？

　【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙 3 分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙 3 块饼，用去 9 分钟，所以烙 2007 块饼，至少用 2007÷3×9= 6021（分钟）．这种方法保证了所有时间段都能充分地利用锅，不造成浪费．因此这种方法是用时最短的．

　【例 3 3 】

　★★ 如图 1 1 是一个物资调运问题。A A 、B B 、C C 、D D 是产地，E E 、F F 、G G 、M M 、N N 是销地，产销量（吨）及距离（公里）数如图所注，试作一个吨公里总数最小的调运方案。

　 3 【解析】欲满足吨公里总数最小的目的，那么从产地运出的货物要优先地并尽可能多地运往最近的销地。A 地只能将 30 吨货运往 E 地，则 E 地还可销 60-30=30（吨）货。B 地将全部20 吨货运往 F 地，则 F 地还可销 40-20=20（吨）货。C 地可将其中的 20 吨货运到 G 地，那么 C 地还剩 50 吨货。G 地销量已满。D 地可将其中的 30 吨货运往 N 地，那么 D 地还剩 90吨货，而 N 地销量已满。此时产销情况如图 2 所示。

　 从图 2 中可以提出运往 F 地的 20 吨货物若从 C 地来，则路程大于从 D 地运来。那么D 地其中有 20 吨货运往 F 地。因此 C 地 50 吨货全部运往 M 地。M 地还可销 90-50=40（吨）货。D 地剩下的 90-20=70（吨）货，其中 40 吨运往 M 地，30 吨运往 E 地。

　调运方案如图 3 所示：

　【小试牛刀】在图中，每个数表示走这段路所需要的时间（单位：分钟）．求

　A 到

　B 的最短时间．

　 【解析】用“标数法”标出时间最小值。我们可以在每条能通往 B 点的途径中标出所需的时间，最后找到最短时间，如图所示：

　 4

　从图中可以看出有三种较近的走法：

　( 1 ) A→C→M→D→E→B

　( 2 ) A→O→P→N→F→B ( 3 ) A→O→P→H→E→B

　比较得第（ 3 ）种时间最短． 18＋7＋10＋9＋10 = 54（分钟）

　答：

　A 到 B 的最短时间是 54 分钟 【例 4 4 】

　★★有 有 1 2001 名学生分散在一条公路上义务宣传环境保护，问活动结束后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从 各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最短？

　【解析】一下子考虑 2001 个人的情况很难入手。那我们先从 2 个人的情况考虑起，设 2 个人宣传岗位分别为 ，易知集合地点选在 点或 点或者 之间的任何一个地点都可以。因为选在这些点时，两个人走过的路程总和都是 。当有 3 个人时，则集合地点应该选在中点的人所在地 ， 。因为若集合地点选在 之间的 B 点，那时 3 个人所走的路程总和是；若集合地点选在 之间的 C点，那时 3 人所走的路程总和是 。只有当集合地点选在点时，3 个人所走的路程总和为 ，显然小于选在 B 点、C 点时的路程。当有 4 个人时，对于 、 岗位上的人来说，集合地点无论选在 之间的任何位置，他们的路程和都是 。那么集会地点应由 、 来决定，这时问题转化为“只有 2 个人时的情况”。根据前面得到的结论，集合地点应选在 、 或者 之间的任何地点。当有 5 个人时，类似地可将问题看作“有 3 个人”的情况，由前面得出的结论可知、集合地点应选在 点。

　由前面的分析，可以得出这样一个规律：当有偶数个人时，集合地点选在中间两个人或他们之间的任何地点。当有奇数个人时，集合地点应选在正中间那个人的位置。

　1A2A2 1 AA2 1 AA2A2 1 AAB A A A B A B A B A B A B A B A2 3 1 2 3 1 3 2 1) (       3 2 AAC A A A C A C A C A2 3 1 3 2 1   2A3 1 AA1A4A4 1 AA4 1 AA2A3A2A3A3 2 AA3A

　 5 解答过程：

　因为 2001=2×1000+1，有奇数个人，所以集合地点应选在从某一端数起第 1000+1=1001个人的位置。

　【例 5 5 】

　★A A 、B B 、C C 、D D 四位同学分别拿着 5 5 、3 3 、4 4 、2 2 个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少？假如打满一瓶水需 1 1 分钟，那么打水的总时间是多少分钟？

　【解析】按占用时间由少到多的顺序安排四个人为：D、B、C、A。

　等候时间：D 打水时 4 个人等候，为 2×4；B 打水时 3 个人等候，为 3×3；C 打水时 2 个人等候，为 4×2；A 打水时 1 个人等候，为 5×1。

　总共等候：2×4+3×3+4×2+5×1=30（分钟）

　答：四人打水顺序安排如下：D、B、C、A，总共需花费 30 分钟。

　【小试牛刀】

　★★6 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，注满 6 6 个人的水桶所用时间分别是 5 5分钟、4 4 分钟、3 3 分钟、0 10 分钟、7 7 分钟、6 6 分钟。现在如果有甲、乙两个水龙头可用，怎么安排这 6 6 个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短时间是多少？

　【解析】只有一个水龙头时应该把所需时间最短的尽量安排在前边，例如应该最先安排需 3分钟的那个人，这样后面的 5 个人和他自己都等了 3 分钟. 依此类推，以下安排 4，5，6，7，10，很容易计算出等候的总时间是 3×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10=100（分）

　现在来看看两个水龙头的情况. 由刚才的分析我们可以看出为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的任先打. 安排需 3 分钟的、5 分钟的和 7 分钟的依次在甲水龙头打；安排需 4 分钟的、6 分钟的和 10 分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头需 3 分钟的任打水时，有 2 人在等待，占 3 任的时间和为（3×3）分；接着，需 5 分钟的人打水，有 1 人等待，占用两人的时间和为（5×2）分；最后，需 7 分钟的人打水，只有他自己等待．甲水龙头打水的 3 个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的 3 人，共用（4×3＋ 6 ×2＋10 ）分．总的占用时间为 （3 3 ×3 3 ＋5 5 ×2 2 ＋7 7 ）＋（4 4 ×3 3 ＋

　6 ×2 2 ＋ 10 ）

　= 60 ）

　（分）。

　【例 6 6 】

　★★★ 北京和上海分别制成了同一型号的电子计算机若干台．除本地应用外，北京可以支援外地 0 10 台，上海可以支援外地

　4 台．现在决定给重庆

　8 台、汉口

　6 台．若每台计算机的运费如表（单位：元），应该如何调运，才能使总的运费最省？

　 6 【解析】如果上海有 1 台运往汉口，那么将它改运重庆，运费增加 500-300=200 元，但这时北京将 1 台运往重庆的改运汉口，运费减少 800-400=400（元）．总运费减少 400-200=200（元）．因此，应将上海 4 台全运往重庆，北京运 4 台到重庆，6 台到汉口，总运费为 500×4＋800×4＋400×6=7600 （元）. 【小试牛刀】

　A 、 B 两地各有

　10 万吨煤和

　5 万吨煤可供外运．现上海需

　8 万吨，南京需

　7 万吨．

　A 地到南京和上海的运费分别是每吨 0 0 ． 6 元和 0 0 ． 8 元，

　B 地到南京和上海的运费分别是每吨

　0 0

　. 5 元和

　0 . 7 元．问怎样调运使运费最省？

　【解析】0.8＋0.5 = 0.7＋0.6 ，无论 B 的煤运往上海还是南京（其余的 A 补足），总运费都是一祥的． 【例 7 7 】

　★★ 在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库( ( 如图) ) 共有 5 个仓库，一号仓库存有10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？

　【解析】做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把一号仓库的 10 吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有 30 吨货物了．再根据“小往大处靠”的原则，那么这 30 吨货物应该集中到五号仓库中． 所以所需的费用是：

　10 0.5 100 500    (元)， 30 0.5 300 4500    (元)，共需要：500 4500 5000  

　(元)． 【小试牛刀】( ( 人大附中分班考试题) ) 在一条公路上，每隔 隔 10 千米有一座仓库( ( 如图) ) ，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量． ． 现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要运费 0.9 元，那么集中到哪个仓库运费最少？

　【解析】这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决． E 点 60 吨，存的货物最多，那么先处理小势力， A 往 E 那个方向集中，集中到 B ， B 变成 40 吨，判断仍是 E 的势力最大，所以继续向 E 方向集中， B 点集中到 C 点， C 点变成 60 吨．此时 C 点和 E 点都是 60 吨，那么 C 、40吨 20吨 10吨五 四 三 二一60吨 10吨 20吨 30吨 10吨E D C B A

　 7 E 谁看成大势力都可以．例如把 E 点集中到 D 点， D 点是 70 吨．所以 C 点也要集中到 D 点．确定了集中地点，运输费用也就容易求了．运费最少为：10 30 30 20 20 10 60 10 0.9 1530          （ ）

　(元)．

　【例8 8】

　】

　★★ 一个物流港有6 6 个货站，用4 4 辆同样的载重汽车经过这6 6 个货站组织循环运输．每个货站所需要的装卸工人数如下图．为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸．在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是

　人．

　【解析】如果每辆车配 4 人，此时共有装卸工 4 4 2 0 4 1 0 0 23         人， 如果每辆车配 5 人，此时共有装卸工 4 5 1 0 3 0 0 0 24         人， 如果每辆车配 6 人，此时共有装卸工 4 6 0 0 2 0 0 0 26         人， 如上我们发现人数是越来越多的，23 小于 24 小于 26，故最少 23 人． 【小试牛刀】

　一个工厂有 7 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需工人数为 25 、 18 、 27 、 10 、 20 、 15 、 30 ．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？

　【解析】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：

　10 15 18 20 25 27 30 147        (人)， 如果每列车上跟 1 人，共多 3 人；每个车间可少 1 人，共少 7 人，多 3 少 7，可减少 4 人． 每列车上跟 10 人，总人数可减少 40 人． 从 11 至 15，列车上每增加 1 人，总人数可减少 3 人． 从 16 至 18，列车上每增加 1 人，总人数可减少 2 人． 从 19 至 20，列车上每增加 1 人，总人数可减少 1 人． 21 增 3 减 3 无意义． 总人数为 20 3 5 7 10 82      (人)最少． 【例 9 9】

　】

　★★★ 有十个村．坐落在从县城出发的一条公路上

　〔

　如图

　，距离单位是千米）．要安装水管，从县城送自来水供给各村可以用粗、细两种水管．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用 0 8000 元，细管每千米要用 0 2000 元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约办法，费用应是多少？

　 8

　【解析】∵ 8000÷2000-1 = 3 ∴最后三个村用细管，前面几个村用粗管． ( 30＋5＋2＋4＋2＋3＋2 )× 8000 ＋2×3×2000＋2×2×2000＋5×2000 = 414000 （元）

　答：最节约的办法，费用是 414000 元．

　1 1 ．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用 5 5 分钟，收拾床褥用 4 4 分钟，听广播 5 15 分钟，吃早饭 8 8 分钟。要完成这些事情，小明至少要花费多长时间？

　【解析】洗漱、收拾床褥、吃早饭这三件事需要逐一去完成，它们与听广播没有先后顺序，因此可同时进行。由于做前面的三件事共需 5+4+8＝17（分钟），大于听广播的时间，因此要完成这些事情小明至少需要 17 分钟。

　2 2 ．把 7 187 吨货物从 A A 地运往 B B 地，大卡车的载重量是 5 5 吨，小卡车的载重量是 2 2 吨，大卡车和小卡车每次的耗油量分别是 0 10 升和 5 5 升。如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？

　【解析】大卡车载重量 5 吨，每次的耗油量是 10 升，相当于每吨耗油 10÷5=2（升）；小卡车载重量 2 吨，每次耗油量是 5 升，相当于每吨耗油 5÷2=2．5（升）。由此可知要尽量使用大卡车才能减少耗油量，187÷5＝37……2，因此派 37 辆大卡车，和 1 辆小卡车。

　需耗油：37×10+l×5＝375（升）

　答：派 37 辆大卡车和 1 辆小卡车可使耗油量最少，耗油量为 375 升。

　3. ．某食堂用一只平底锅烙饼，每次能同时放 4 4 个饼，烙好一个饼需要 6 6 分钟（每面各需 3 3分钟），那么烙好 0 50 个饼至少需要多长时间？

　 【解析】若只烙 4 个饼，显然只需要 6 分钟；若要烙 6 个饼，先将饼分成 3 对。将前2 对饼先放进去，3 分钟后将第 1 对翻面，将第 2 对取出，放入第 3 对，再过 3 分钟后，将熟的取出，将余下的 2 对翻面后放入，再过 3 分钟后即可。那么烙 6 张饼需 3+3+3=9（分钟）。因为 50＝6+4×ll，烙前 6 个饼需 9 分钟，烙后面的 44 个饼，每 4 个饼需要 6 分钟。

　总共用时：9+6×ll=75（分钟）

　课后作业

　 9 答：烙好 50 个饼至少需要 75 分钟。

　4. （第一届“华杯赛”初赛试题）妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗水壶要用

　1 分钟，烧开水要用

　15 分钟，洗茶壶要用

　1 分钟，洗茶杯要用

　1 分钟，拿茶叶要用

　2 分钟，小明估算一下，完成这些工作要花

　20 分钟. . 为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了？

　【解析】如图所示：

　将洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事与浇开水同时进行，比小明的估算节约了 4 分钟．即只用1＋15 = 16 （分）. 答：最少 16 分钟就可以沏茶了． 5. 5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是

　1 分钟、

　2 分钟、

　3 分钟、

　4 分钟和

　5 分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最少？并求出最小值。

　【解析】

　5 个人排队一共有 5×4×3×2×1 = 20 （种）顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了，凭直觉、应该把打水时间少的人排在前面，大家等待所费的总时间会省些．如果打水时间需 1 分钟的人、前面有一个人，打水时间为 a(a ＞1 分钟，那么（暂不管其他的人）这两个人排队、打水的总时间是 a＋(1＋a）= a＋l＋a（分）．而将这两个人顺序交换一下，总时间变为 1＋( 1 ＋a ）= 1＋1＋a（分）．显然后者比前者少．由于这两个人顺序交换对其他人没有影响，所以应将打水时间需 1 分钟的人排在前面．这样逐步交换顺序，打水时间需 1 分钟的人应当在最前面．同理，应将五个人按打水时间由少到多的顺序排队，所用时间最省．这样得出 5 人排队打水所费时间总和的最小值是：

　1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1 = 35（分钟）.

　6. 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎

　1 个饼需要

　2 分钟（假定正、反面各需

　l 分钟），问煎

　1993 个饼至少需要几分钟？问煎

　1994 个饼至少需要几分钟？

　【解析】1993 = 1990＋3 ，前 1990 张饼 2 张为一组，每组用 2 分钟，后 3 张饼为一组，用 3 分钟（先将两块饼同时放人锅内一起烙，1 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了 1 分钟，第二块烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙 1 分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙 3 块饼，用去 3 分钟），因此总

　 10 共用 1990÷2×2 十 3 = 1993 分钟， 1994 张饼每两个一组，每组用 2 分钟，共用 1994÷2×2= 1994 分钟． 7. 理发室里有甲、乙

　2 位理发师，同时来了

　5 位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要

　10 、

　12 、 15 、 20 和

　24 分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这

　5 人理发的等候时间的总和最少？最少要用多少时间？

　【解析】甲给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用 3 人的时间和为 l0×3（分）；然后，甲给需 15 分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为 15×2（分）；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待．甲理发的 3 个人共用 10×3＋15×2＋24（分），乙8. 如下图，在街道上有

　A 、

　B 、

　C 、

　D 、

　E 、

　F 六栋居民楼，每栋楼里每天都有

　20 个人要坐车，现在想设立 一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？

　 【解析】

　依据“向中心靠拢”的思想来分析．

　首先，在 A 、F 之间（含 A 、F）无论设在哪，它们的距离和都不变，且最短．同理，在 B、 E 之间． C 、 D 之间，都能得到最短距离，所以，建在 C 、 D 之间及 C 、 D 均可．

　【评析】有“奇数”个点时就选最中间的那个点，有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点． 9. （第二届“华杯赛”复赛试题）下图是一张道路图，每段路上的数是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从

　A 出 发走到

　B ，最快需要多少分钟？

　【解析】到 I 、 E 、 F 的最少时间如图，到 B 的最少时间为 48（= 36＋12-15＋11＋10＋12 ) .

　答：小王最快需要 48 分． 10. 某乡共有六块麦田．每块麦田的产量如图所示．试问打麦场应设置在何处，才能使运输总量（吨

　·

　千米）最小？

　 11

　【解析】到 C 的每条线上的产量的和都不到总产量的一半，所以打麦场应设在 C 处．

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