第11讲:椭圆左右顶点有关极点极线结构
下面是小编为大家整理的第11讲:椭圆左右顶点有关极点极线结构,供大家参考。
第 第 11 讲:椭圆左右顶点有关的极点极线结构 解析几何中设而不求、整体代换时,通常是将点的坐标代入表达式后整体代换,或使用韦达定理出现两根的和与积,再整体代换。以下通过两例展现另一种整体代换的方法,颇具美感。
例1 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:2 2 2x y r 和直线l:
x a , (其中r和a均为常数,且 0 r a ),M 为 l 上一动点,A、B 为圆 C 与 x 轴的两个交点,直线 MA 、 MB 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q。求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标。
析:设 ( ,0) A r 、 ( ,0) B r 、 ( , ) M a t 、1 1( , ) P x y 、2 2( , ) Q x y ,根据图形的对称性,设定点 ( ,0) N n
由题知1 1( , ) AP x r y 与 ( , ) AM a r t 共线,得 11x r a ry t 11 1x r a ry y t
………① 2 2( , ) BQ x r y 与 ( , ) BM a r t 共线,得 22x r a ry t 22 2x r a ry y t
………② ①+②得:1 21 2 1 21 1 2( )x x ary y y y t
………③ ①-②得:1 21 2 1 21 1 2( )x x rry y y y t
………④ 1 1( , ) NP x n y 与2 2( , ) NQ x n y 共线,得 1 21 2x n x ny y 1 21 2 1 21 1( )x xny y y y
………⑤ 又因为:2 22 2 211 12 21 11x rx y ry y
………⑥ 2 22 2 222 22 22 21x rx y ry y
………⑦ ⑥-⑦得:2 22 21 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ( )( )x x x x x xr ry y y y y y y y y y y y ………⑧ 为看清以上等式,设1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1, , ,x x x xA B C Dy y y y y y y y
则由③④⑤⑧式得:
22(1)2(2)(3)(4)aA rDtrB rCtB nDAB r CD 2An r C 222r C arDn trnD rCt 相除得:r an r ,得2rna
故 PQ 过定点2( ,0)ra。
评:(1)本题较难,常规运算很复杂,极少有同学能够计算彻底。
(2)由向量共线得分式①②,将其进行加减运算,得③④,结合假设定点 N 与 P、Q 共线方程,利用点 P、Q 在圆上,将⑥⑦相加减,为了将问题看清,重新整体换元,得最后方程组,再相除得结果。
(3)本题中分式加减后构造元素进行整体消元的方法,计算量小,形式优美。
(4)数学美有简洁美、对称美、和谐美、奇异美等,本题的解法中都有体现。
例 2 已知椭圆 C:2 214 2x y ,设点 (4,0) P ,A、B 是椭圆 C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q。
解析:设 1 1, A x y , 1 1, B x y , 0 0, E x y , ,0 Q m 。
由题知, 1 14, PB x y 与 0 04, PE x y 共线,故有 1 0 1 04 4 x y y x 0 11 04 4 x xy y 0 11 1 0 04 4 x xy y y y
0 11 0 1 0 1 04 4 1 14x xy y y y y y ……①。
同理可得:
1 1, QA x m y 与 0 0, QE x m y 共线,故有 1 0 1 0x m y y x m 0 11 0x m x my y 0 11 1 0 0x x m my y y y
0 11 0 1 0 1 01 1 x x m mmy y y y y y ……②。
将①×②得:2 20 12 2 2 21 0 1 01 14x xmy y y y ……③ 又由点 A、B、E 均在椭圆上,故有 E(x 0 ,y 0 )P(4,0)B(x 1 ,-y 1 )OQ(m,0)A(x 1 ,y 1 )x
22 211 12 22 21 10 12 2 2 22 2 21 0 1 00 0 02 20 04211 14 2442 14 2xx yy yx xy y y y xx yy y 与③比较,从而得:
1 m 。所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1,0) 。
评:(1)本题是椭圆中的中档难度题,改作其他方法作答也可得。
(2)使用分式①②相乘后即得可以整体换元的方程。求解过程计算量小,形式优美。
练习:
1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:
2 22 21 0x ya ba b 的离心率为22,直线 l:12y x 与椭圆 E相交于 A、B 两点, 2 5 AB ,C、D 是椭圆 E 上异于 A、B 的任意两点,且直线 AC、BD 相交于点 M,直线 AD、BC 相交于点 N。
(1)求 a、b 的值;(2)求证:直线 MN 的斜率为定值。
2. 设椭圆 C:2 214 2x y ,当过点 4,1 P 的动直线 l 与椭圆 C 相交 于 两 不 同 点 A 、 B 时 , 在 线 段 AB 上 取 点 Q , 满 足. . AP QB AQ PB ,证明:点 Q 总在定直线上。
3.已知椭圆2214xy ,1A 、2A 是左右顶点, 1,0 D ,直线 MN 过点D 交椭圆于 M、N,直线1AM 、2A N 相交于点 G。证明:点 G 在定直线上。
答案:
1 析:(1)椭圆方程为:2 216 3x y 。
(2)设 1 1, C x y , 2 2, D x y , , M m n , , N s t
由点 A、N、D 三点共线 2, 1 AN s t 与 2 22, 1 AD x y 共线,故有222 21 1x st y ………① GNA 1 A 2 ODMxy
由点 A、C、M 三点共线 2, 1 AM m n 与 1 12, 1 AC x y 共线,故有112 21 1x mn y ……② 由点 B、N、C 三点共线 2, 1 BN s t 与 1 12, 1 BC x y 共线,故有112 21 1x st y ……③ 由点 B、M、D 三点共线 2, 1 BM m n 与 2 22, 1 BD x y 共线,故有222 21 1x mn y ……④ ①×④得: 22222 2 41 1 1s m xt n y ,而2 2 2 22 2 2 24 11 06 3 6 3x y x y ,故 2 221 1s mt n 得:
2 2 2 6 0 sm s m tn t n ………⑤ ②×③得: 21212 2 41 1 1s m xt n y ,而2 2 2 21 1 1 14 11 06 3 6 3x y x y ,故 2 221 1s mt n 得:
2 2 2 6 0 sm s m tn t n ………⑥ 由⑤-⑥得:
0 1MNt ns m t n ks m 为定值。
2. .析:设AP BPAQ BQ 0 ,如图,则有 AP AQBP BQ 1 11 1 1 1 1 12 2 2 2 2 22 244 ,1 , 14 ,1 , 41x m xx y m x n y y n yx y m x n y x m xy n y 11224 11 14 11 1m xn ym xn y 而 2 22 22 221 11 12 2 2 22 22 2 22 21 11 14 2 4 21 1114 24 2x y x yx yx y 2 222 224 114 24 114 2m nm n 两式相减得:16 44 14 2 2m n nm
故 Q 在直线 12yx 上。
3 .析:由题知 12,0 A 、 22,0 A , 1,0 D 。
设 1 1, M x y 、 2 2, N x y , 0 0, G x y
由题 A 1 、M、G 三点共线,且 1 1 12, AM x y 、 1 0 02, AG x y 。
得0 11 02 2 x xy y 0 11 1 0 02 2 x xy y y y
┅┅┅┅┅①
又 A 2 、N、G 三点共线,且 2 2 22, A N x y 、 2 0 02, AG x y 。
得0 22 02 2 x xy y 0 22 2 0 02 2 x xy y y y
┅┅┅┅┅② 又 M、D、N 三点共线,且 1 11, DM x y , 2 21, DN x y
得1 21 21 1 x xy y 1 21 2 1 21 1 x xy y y y
┅┅┅┅┅③ 由①②相加得:0 1 21 2 1 2 02 1 12x x xy y y y y
┅┅┅┅┅④
相减得:1 21 2 1 2 01 1 42x xy y y y y
┅┅┅┅┅⑤ 再点 1 1, M x y 、 2 2, N x y 在椭圆2214xy 上,故221212 211 12 222 222 22 2441441 44xxyy yx xyy y 得212 21 14 xy y222 22 24 xy y 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 14x x x xy y y y y y y y ┅┅⑥ 由③④⑤⑥解得:000 02 42 4xxy y 。(见附注。)
故点 G 在直线 4 x 上。
附注:1.本题具有美感,以上解法保留了题目特色,体现了整体代换的思想,技巧性强,难度大。
2.如果“由③④⑤⑥解”有难度,补充:
令1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1, , ,x x x xm n s ty y y y y y y y
则有:000(7)4 (8)22 (9)42 (10)n tmn stxm tyn sy ,由(7)、(8)得 4 m s (11) ,从而得解。
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